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蒙特卡洛方法在美式期權定價中的應用

發布時間:2018-06-27 16:51:54 文章作者: 文章來源: 閱讀次數:

蒙特卡洛方法又稱隨機抽樣或統計試驗方法,屬于計算數學的一個分支,最早應用于20世紀40年代中期的原子能領域。...

蒙特卡洛方法是以概率和統計理論方法為基礎的一種計算方法,利用隨機數(實際應用中通常為偽隨機數)來產生隨機的基于一定分布假設的數字序列,進而解決各種計算問題。通過對問題的結果分布進行假設和擬合,利用電子計算機實現統計模擬或抽樣,以獲得問題的近似解。為象征性地表明這一方法的概率統計特征,故借用賭城蒙特卡洛命名。

從理論上來說,蒙特卡洛方法需要大量的實驗。實驗次數越多,得到的結果才越精確。計算機技術的發展使得蒙特卡洛方法得到快速普及。

現代的蒙特卡洛方法,已經不必親自動手做實驗,而是借助計算機的高速運轉能力,使得原本費時費力的實驗過程,變成了快速和輕而易舉的事情。它不但用于解決許多復雜的科學方面的問題,也被項目管理人員經常使用。借助計算機技術,蒙特卡洛方法兼具了兩大優點:一是簡單,省卻了繁復的數學推導和演算過程,使得一般人也能夠理解和掌握;二是快速,簡單和快速是蒙特卡洛方法在現代項目管理中獲得應用的技術基礎。

在實際應用中,蒙特卡洛方法通過執行統計抽樣實驗來解決各種數學問題,提供了近似的解決方案。在金融行業數量化工具的設計和定價中蒙特卡洛方法被廣泛運用,如為一些難以求出解析解的奇異期權進行定價。

有些投資者不太清楚蒙特卡洛方法在期權定價領域里面的必要性,事實上產生這樣的疑惑和國內期權市場發展情況息息相關。國內期權市場發展落后于歐美發達國家,場內期權數量屈指可數,相關的指數和資產管理產品寥寥無幾,同時場外期權主要交易的品種也以簡單的香草期權(vanilla options)為主,夾雜少量特殊定制的奇異期權。

由于接觸的大多是已經有解釋解,或者說期權交易和對沖中的希臘字母相對容易計算的期權品種,無論是投資者還是大量金融機構的從業人員對相對復雜的期權品種的定價以及希臘字母的計算方式還是比較陌生的。

實際上在交易者頻繁交易各種奇異期權的國外市場,蒙特卡洛方法是相當常用而且具有實戰意義的定價方式。下面我們以最為簡單的美式期權展開討論:

美式期權與歐式期權相對應,其持有者有權利在期權續存期內的任意時間行權。在國外成熟的交易市場,絕大部分交易的期權合約都是美式的。相比而言,歐式期權的定價更加容易,實際情況中,交易者會考慮利用相似的歐式期權的價格對美式期權價格進行推導。

假設C為美式期權價格,c為對應的歐式期權價格。顯然,由于美式期權和歐式期權的持有者的權利不同,兩者必須符合以下規律:

一是由于持有者可以在存續期內任意時間行權,實值美式期權價格C必須不低于該期權的內含價值,也就是當前美式期權行權的收益。

二是無論看漲看跌,美式期權的價格都必須高于對應的歐式期權價格。在同等情況下,對應的歐式期權價格為美式期權價格的下限,即C≥c、P≥p。

三是美式期權同時滿足期權價格的平價公式(Put-Call Parity),其中無分紅美式期權應滿足以下公式——S0-K≤C-P≤S0-Ke-rT。

理論上,由于控制風險的暴露、節省現金、減少時間價值的損失等原因,無分紅情況下的美式看漲期權不會提前行權。但在實際情況中,根據交易者具體對行情的判斷,美式看漲期權仍然存在提前行權的可能。

從數學理論的角度而言,根據前文提到過美式期權和歐式期權價格的規律,可以得出結論C≥c≥S0-Ke-rt,由于r>0及t>0,顯然C>S0-K,故理論上無分紅情況下的美式看漲期權不會提前行權。

由于無分紅情況下的美式看跌期權存在理論上的提前行權的可能性,如深度實值的時候,故對美式期權的定價而言,主要的挑戰和難點集中在美式看跌期權的定價上。

B 美式期權的定價

美式期權的定價問題實際上是一個最優停時問題,也就是說,關鍵在于尋找執行期權收益比繼續持有期權的期望收益大的瞬間。

假設存在Lt,當St≤Lt時執行期權收益比繼續持有期權大,而St>Lt時提早執行期權不是一個最優選擇的情況下,Lt被稱為執行界限。而對于以下最優停時問題:<Z:KT2018180627C1.tif>,有基于最優停時τ*的最優解,其中τ*可由以下方程求得——<Z:KT2018180627C1.tif>。

顯然,對于美式期權的持有者而言,收益最大化的選擇便是在St首次小于或等于Lt的時候執行期權。

由于實際上很多奇異期權難以求得解析解,本文聚焦于更具普適性的計算方法。在實際應用中,用于美式期權定價的計算方法主要為二叉樹法和本文主要的研究對象——蒙特卡洛方法。

這兩種方法都是基于離散時間點進行模擬分析,考慮離散時間0=t0<t1<……<tm=T,假設美式期權在上述時間點才能行權,也就是一個百慕大期權。若每個行權時間點之間的時間間隔足夠小,則可以通過百慕大期權的離散定價來逼近美式期權的價格。

假設Vi(x)為在ti時刻、標的價格為x的期權的價格,顯然Vi(x)也可以代表在其他假設不變的情況下,在ti時刻新簽發的、標的初始價格為x、期權續存期為(T-ti)的期權的價格。Di為ti時刻和ti+1時刻之間的折舊因子。

顯然,在實際應用中,如果要利用蒙特卡洛方法來進行定價,除了需要對標的價格的走勢進行模擬以外,還需要求解上述遞推方程中的E[Di-1Vi(xi)Xi-1=x]。

下文將介紹求解E[Di-1Vi(xi)Xi-1=x]的核心思路,以及結合實際案例,運用蒙特卡洛方法對美式看跌期權進行定價。

C Longstaff-Schwartz方法

前文提到,求解E[Di-1VixiXi-1=x]是利用蒙特卡洛方法對美式期權定價過程中的主要難關。下面我們將通過一個簡單的例子來讓讀者對E[Di-1VixiXi-1=x]有一個直觀形象的理解,從而引入求解該問題國際上的主流方法——Longstaff-Schwartz方法。

假設一個簡單的美式看跌期權,其中標的的初始價格與行權價格均為100,無風險利率為1.5%,年化波動率為20%,期權續存期長度為1年。設相等時間間隔的兩個行權時間點t1和t2,顯然t1=0.5,t2=1。對標的價格進行100次模擬,得出兩個時間點上標的的模擬價格,并求出期權期末行權的收益折算到t1時刻的數值,作為t1時刻的繼續持有期權的期望收益。

對t1時刻的標的的模擬價格和繼續持有期權的期望收益作散點圖,同時我們用一條四階的多項式方程,C1St1,t1=b0+b1St1+b2St12+b3St13+b4St14,來擬合t1時刻的標的的模擬價格和繼續持有期權的期望收益之間的關系。從下圖可以看出,多項式方程能夠很好地描述兩個變量之間的關系。

由此可以得出Longstaff-Schwartz方法的核心思想,即

其中βir為常數項,Ψr為被選擇的基礎函數。選擇基礎函數是該方法應用中的一個挑戰,不同的基礎函數會產生不同的擬合結果;谔├照归_的思想,實際應用中多項式函數常被選為基礎函數,而其他的一些特殊函數也會被選作為基礎函數。

事實上Longstaff-Schwartz方法中的基礎函數類似于支持向量機(Support Vector Machine)中的核函數,只是在Longstaff-Schwartz方法中沒有考慮到支持向量的問題,可以看作為支持向量機的一個原始模型。所以Longstaff-Schwartz方法中的基礎函數其實有非常多的候選函數,像徑向基核函數 (Radial Basis Function)和Sigmoid函數都是可以用于實戰的。如前文提到,不同的基礎函數會導致不同的擬合效果,故實際應用時基礎函數的選擇仍需要讀者根據實際應用情況進行選擇,本文僅選用簡單有效的多項式函數作為基礎函數進行討論。

D 應用蒙特卡洛方法對美式看跌期權進行定價

根據前文所述,沒有分紅的情況下美式期權的定價的難點主要集中在美式看跌期權,而實際定價中的主要問題是如何求解每一個時間點上繼續持有期權的期望收益。接下來我們將為大家詳細介紹利用蒙特卡洛方法,結合Longstaff-Schwartz方法對美式看跌期權進行定價的主要過程。

為了方便廣大讀者的實際使用,下面的討論會基于實際測試的VBA代碼展開,所提供的VBA代碼可以稍加修改之后投入到實際應用中。

通過蒙特卡洛方法對標的價格進行模擬

首先輸入具體數據,需要的數據包括標的初始價格、期權執行價格、無風險利率、標的年化波動率、期權續存期、行權時間點個數m以及模擬次數b。

根據輸入的數據,進行b次隨機模擬,每次生成長度為m的隨機模擬標的價格序列,每個模擬的時間點之間的間隔長度為dT(dT=期權續存期/m),計算并記錄基于每次標的價格走勢模擬的期權期末行權收益。由于期末的期權沒有繼續持有的選項,故期權的價格可以簡單求得,并作為整個反向計算過程的初始值。此處應記錄的期權期末行權收益值應共有b個。

通過回歸求出繼續持有期權的期望收益

根據Longstaff-Schwartz方法,我們可以把ti+1時刻的期權價格的折舊值作為因變量,利用多項式方程對ti時刻的標的價格和ti+1時刻的期權價格的折舊值進行回歸,進而求出ti時刻繼續持有期權的期望收益。

若t+1時刻為期末時刻,ti+1時刻的期權價格的折舊值可以通過上一步計算得出的期權期末行權收益值折舊求得;若t+1時刻早于期末時刻,則需比較t+1時刻提前行權所能獲得的行權收益和ti+2時刻的期權價格的折舊值的大小,選擇較大的一方作為回歸方程中的因變量。

通過不斷循環上述步驟,直到求出t1時刻的期權價格并對其進行折舊,其平均值,即期權簽訂時期權的期望收益為美式看跌期權的價格。

E 小結

本文簡要介紹了美式期權的定價邏輯,并推導出美式期權的定價難點集中在對繼續持有期權的期望收益的求解上。

另外,本文還介紹了國際上解決這一問題的主流方法——Longstaff-Schwartz方法,通過對標的價格和下一期期權的價格的折舊值進行回歸,得出對當期繼續持有期權的期望收益的估計值,進而通過VBA代碼展示了利用蒙特卡洛方法對標的價格的走勢進行模擬,對美式看跌期權的定價過程。相比更為原始的利用嵌套蒙特卡洛方法來求解繼續持有期權的期望收益的做法,利用Longstaff-Schwartz方法大大提升了定價過程的效率,減少了過程中所需要的運算量。

值得注意的是,本文中選擇的基礎函數是多項式函數,在實際應用中不同的基礎函數會導致不同的擬合效果,故實際應用時基礎函數的選擇仍需要交易者根據實際應用情況進行選擇。


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